cs203 lab3

2012 оны 03-р сарын 16 Нийтэлсэн Амартайван
/ File name:  Lab3.java

abstract class Shape{
    protected double square;
    protected String name;
    public abstract double getSquare();
    protected abstract void computeSquare();
    public String getName(){
        return name;
    }
}
class Rectangle extends Shape{
    protected double width, height;
    Rectangle(double w, double h ){
        width = w; height = h; name = "Rectangle";
        this.computeSquare();
    }
    protected void computeSquare(){
        this.square = width*height;
    }
    public double getSquare(){
        return square;
    }
    public double getPerimeter(){
        return (width+height)*2;
    }
    public String toString(){
        return "Shape name: " + this.getName();
    }
    public void print(){
        System.out.println(this);
        System.out.println("square: "+this.square);
        System.out.println("perimeter: "+this.getPerimeter());
    }
}
class Circle extends Shape{
    protected double radius, Pi_too;
    Circle(double R, double Pi ){
        radius = R; Pi_too = Pi; name = "Circle";
        this.computeSquare();
    }
    protected void computeSquare(){
        this.square = (Pi_too*radius*radius)/2;
    }
    public double getSquare(){
        return square;
    }
    public double getPerimeter(){
        return (Pi_too*radius)*2;
    }
    public String toString(){
        return "Shape name: " + this.getName();
    }
    public void print(){
        System.out.println(this);
        System.out.println("square: "+this.square);
        System.out.println("perimeter: "+this.getPerimeter());
    }
}
class Quadrate extends Rectangle{
    protected double width;
    Quadrate(double w){
        super(w, w);
        width = w; name = "Quadrate";
        this.computeSquare();
    }
    protected void computeSquare(){
        this.square = width*width;
    }
    public double getSquare(){
        return square;
    }
    public double getPerimeter(){
        return (width)*4;
    }
    public String toString(){
        return "Shape name: " + this.getName();
    }
    public void print(){
        System.out.println(this);
        System.out.println("square: "+this.square);
        System.out.println("perimeter: "+this.getPerimeter());
    }
}
public class Lab3{
    public static void main(String[] args){
        Rectangle r1 = new Rectangle(50, 10);
        r1.print();

        Circle c1 = new Circle(30, 3.14);
        c1.print();

        Quadrate q1 = new Quadrate(40);
        q1.print();
    }

CS207 ҮЙЛДЛИЙН СИСТЕМИЙН ЛАБРАТОР №3

2012 оны 03-р сарын 15 Нийтэлсэн Амартайван

public class WorkThread extends Thread {
    private int erembe;
    private int mur;
    private int bagana;
    private int[][] A;
    private int[][] B;
    private int[][] C;

    public WorkThread(int mur, int bagana,int erembe, int[][] A, int[][] B, int[][] C) {    
        this.erembe = erembe;
        this.mur = mur;
        this.bagana=bagana;
        this.A = A;
        this.B = B;
        this.C = C;
    }
    public void run() {

        for (int i = 0; i < erembe; i++) {
            C[mur][bagana] += A[mur][i] * B[i][bagana];
        }
    }
}

class WorkThreadTest{
    public static int[][] A = {{1,2},
                               {3,4},
                               {5,6}};
    public static int[][] B = {{1,2,3},
                               {4,5,6}};
    public static int[][] C = null;

    public static void main(String args[]) {
        C = new int[3][3];

        for(int i =0 ; i < 3; i++){
            for(int j = 0; j < 3; j++){

                      //huulbar process uusch baina.

                WorkThread thread = new WorkThread(i, j,2, A, B , C);
                thread.run();                                        

            }
        }

        for(int i =0 ; i < 3;i++){
            for(int j = 0; j < 3; j++){
                System.out.print(C[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

    }
}

MT114 ТООЦОН БОДОХ МАТЕМАТЕКИЙН ЛЕКЦ

2012 оны 03-р сарын 15 Нийтэлсэн Амартайван
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр
Page 1
1. Алдааны тухай мэдэгдэхүүн
1.1
Алдааны онолын мэдэгдэхүүн.
Аливаа хэмжигдэхүүн нь нөгөө хувьсагчаас хамааран хувьсана. Энэхүү хамааралд математик томъёо болон илэрхийлэл харгалзуулж болно. Хэмжигдэхүүний тоон утгыг бодож гаргахад жинхэнэ утгаас ихэвчлэн зөрөөтэй байдаг. Энэ зөрөөг алдаа гэж нэрлэнэ.
Алдааны сурвалж:

Хэмжигдэхүүнд харгалзсан математик илэрхийлэл буюу тооцооллын арга согогтой байх, эсвэл уг хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход авсан гарааны утга нь буруу байх.

Хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход хэрэглэж буй математик аргын доголдол, тухайлбал уг хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг олоход асар олон үйлдэл давтах шаардлагатай байх атал аргагүйн эрхэнд төгсөглөг үйлдлээр хязгаарлах
Алдаа дээрх болон бусад шалтгаанаас үүснэ. Нийт алдаа нь олон алдааны нийлбэрээр тодорхойлогдоно.
Үнэмлэхүй ба харьцангуй алдаа
Нэгэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгыг P гэе. n үйлдлийн дараа Pn ойролцоо утга гарсан гэе. Тэгвэл nPP− хэмжигдэхүүнийг үнэмлэхүй алдаа гэнэ. Үнэмлэхүй алдаа утгаас хамаарна. Иймд nPnnPPP−≥Δ)( (1.1)
шаардлагыг хангах ёстой. Харьцангуй алдаа нь PPPPnn−≥)(δ (1.2)
илэрхийллээр тодорхойлогдоно.
нь nPP хэмжигдэхүүний )алдаатай ойролцоо утга учраас (nPΔ
)(nnPPPΔ±= (1.3)
байдалтай бичдэг. Харин болон ) тооны таслалаас хойших оронг ямагт ижил тоотой авдаг. Тухайлбал nP(nPΔ
100.4000.4==nPP бол 025.0100.0==Δδ
nP болон P хоёр ) хамааралтайг тооцвол: (nnPPPΔ±=
))(1(nnPPPδ±=
өмнөх тохиолдолд P хэмжигдэхүүний утга )025.01(000.4)025.01(000.4+≤≤−P завсарт оршино.
1.2
Тооцооны алдаа.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр
Page 2
Товчийг бодож x тооны үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг xΔ болон xδ гэж тэмдэглэе.
1.
Нийлбэрийн алдаа. : )
()(yxyxΔ±+Δ±

Үнэмлэхүй алдаа
)yx Δ+

Харьцангуй алдаа: yy⋅+
2.
Ялгаврын алдаа: )yyΔ±

Үнэмлэхүй алдаа:
)yxΔ+

Харьцангуй алдаа:
yδ⋅−
3.
Үржигдэхүүний алдаа: )(yyΔ±

Үнэмлэхүй алдаа:
yxx±

Харьцангуй алдаа:
4.
Ноогдворын алдаа: ))yx±Δ±

Үнэмлэхүй алдаа:
2yyx
Энд хүртвэрт , хуваарьт 2 болон бага хэмжигдэхүүнийг орхив.

Харьцангуй алдаа:
5.
Нэг хувьсагчаас хамаарсан функцийн алдаа:

Үнэмлэхүй алдаа:
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр
Page 3
xxxxxfxfxffxfxfxfΔ=−Δ±=ΔΔ±≈Δ±)(')()()(')()(
Энд хүртвэрт , хуваарьт 2 болон бага хэмжигдэхүүнийг орхив.

Харьцангуй алдаа:
Олон хувьсагчийн функцийн үнэмлэхүй болон харьцангуй алдааны томъёог мөн ийм аргаар гаргаж болно.
2.Нэг хувьсагчтай алгебрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь.
2.1 Таллан хуваах арга.(Bisection method )
Тэгшитгэлийн язгуур олох асуудал бол ойролцоо тооллын нэг гол бодлого нь мөн. Тухайн функц байлаа гэхэд түүнээс үүдсэн
(2.1)
тэгшитгэлийн язгуур буюу шийдийг олъё. Эл тэгшитгэлийн язгуур бол )функцийн “тэг” утгад харгалзаж байна.
Функц ) [a,b] завсарт тасралтгүй бөгөөд хоёр зах дахь , утга нь эсрэг тэмдэгтэй (0) байг. Тэгэхлээр ) функц Х тэнхлэгийг хаа нэгтээ x цэгээр огтлон гарах буюу 0 (Больцано-Кошийн теорем) болно. Хялбарыг бодож функц [a,b] завсарт ганц удаа дайран гарсан гэе.
Төсөөлөн бодохуй: Завсрыг таллан хуваахад хоёр дотоод завсар гарна. Үзүүрт нь функцийн утга ижил тэмдэгтэй завсрыг орхино. Харин нөгөө завсрынх нь хоёр захад функц заавал эсрэг утгатай байж таарна. Тиймээс энэхүү завсраа таллан хуваана. Энэ үйлдлийг давтаад байвал завсар “шахагдсаар” өнөөх язгуур руу төгсгөлгүй ойртоно. Ингэж ойролцоо язгуурыг олно.
Математик томъёолол: Эхлээд захыг , нөгөөг нь гэе. Энэ хоёрын тэхий
2цэг оршино. Хэрэгт 0)(1=xfбайх юм бол 10xx= буюу бид шийдээ шуудхан олчихнрин (xf бол дээр хэлсэнээр завсрындад функцийн утгыгХэрэв )(1xf болон )(1af ижил тэмдэгтэй];1xзавсархарин ];[11bx
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 4
үйлдлийг n дахин давтвал ] завсарт язгуур оршино. (зураг 2,1) Язгуурыг Δ алдааны завсарт олъё гэвэл ;[nnxaΔ=
−ab буюу
(2.3)
Дахин давтал үйлдэх болно. Ингэхэд буюу завсарт орших тул шийд болно.
(Зураг 2,1)
Алгоритм.2.1
завсарт тасралтгүй бөгөөд хоёр захад нь эсрэг тэмдэгтэй функцийн тэгшитгэлийн шийдийг ойролцоолон олох програмыг бичих алгоритмыг доор өгөв.
INPUT Захын цэг a,b, давталтын хамгийн их тоо N0
OUTPUT Ойролцоо шийд xn эсвэл бүтэлгүй хариу.
Step1. n=1; FA=f(a)
Step2. While do steps 3-6.
Step3. x=a+(b-a)/2; Fx=f(x)
Step4. if Fx=0 or (b-a)/2 <Δ then
OUTPUT x ;
STOP. Үйлдэл бүрэн төгсөнө.
Step5. n=n+1;
Step6. if FA*Fx>0 then set a=x
FA*Fx else set b=x
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 5
Step7. OUTPUT N0 давтлын дараа тооцоо бүтсэнгүй.
STOP.
Алдаа
Үнэмлэхүй алдаа: , харьцангуй алдаа.: ;
Ихэвчлэн уул бодлогын шинж чанараас алдааг сонгоно. Дээр (2.2) томъёог эргэн харъя. үед байх учир
(2.4)
буюу
(2.5)
Жишээлбэл, , завсарт 10-3 нарийвчлалтай шийдэхэд
Эндээс
(2.6)
буюу 10 доошгүй давталтаар шийдэд дөхөж очно.
Дасгал.
1. тэгшитгэлийн шийдийг А. [0;1] Б. [1; 3.2] В. [3.2; 4] завсарт 10-3 нарийвчлалтай ол.
2. тэгшитгэлийн шийдийг А. [-2;1.5] Б. [-1.25; 2.5] завсарт 10-2 нарийвчлалтай ол.
3. тэгшитгэлийн шийдийг [0,5;1.5] завсарт 10-3 нарийвчлалтай ол.
4. Дараах тэгшитгэлүүдийн шийдийг 10-5 нарийвчлалтай ол.
a.
б.
в.
г. тэгшитгэлийг ашиглан тоог 10-4 нарийвчлалтай тооцоол. тоог 10-4 нарийвчлалтай тооцоол. д.
2.2 Нэг хувьсагчтай алгебрийн тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдэх нь.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 6
Ньютоны арга бол тэгшитгэлийн язгуурыг өндөр нарийвчлалтай тооцоолон олох шилдэг аргын нэг мөн. Ньютоны аргын математик үндэслэлийг олон арга замаар гаргаж болно. Эхлээд Тэйлорын цуваанд задлахад тулгуурлан давтлын математик томъёолол гаргая.
[a;b] f (x) f ''(x) = C [a;b]
завсарт 2 дахин интегралчлагдах өгөгдсөн буюу байг. Тэгшитгэлийн
2 жинхэнэ шийдэд дөхүү ойролцоо шийд () дээр байг. цэгийн орчинд Тэйлорын цуваанд задлая. функцийг
(2.1)
цэгт тул
(2.2)
Энд үед нь бүр бага хэмжигдэхүүн болохыг тооцвол:
(2.3)
Энэ тэгшитгэлээс
(2.4)
Энэ бол Ньютоны аргын үндэс болдог. гарааны цэг бол давтлын замаар гэсэн ойролцоо утгын цуваа гарах юм.
, n=1,2,3,... (2.5)
Теорем: [ завсарт 2 дахин диференциалчлагдах ) функц нь бөгөөд түүний 1, 2-р эрэмбийн уламжлалууд тэмдгээ хадгалж байвал тэнцэл бишийг хангах гарааны ямар ч цэгээс эхэлсэн цуваа нь жинхэнэ шийдрүү нийлнэ.
Эл теоремын баталгааг орхиж алдааг үнэлэх жорыг үзэе.
Алдааг үнэлэх.
n давтлын дараах ойролцоо язгуурын алдааг үнэлэхийн тулд
(2.6) тэнцэл бишийг ашиглана. бол уламжлалын [a,b] завсар дахь хамгийн их утга, бол уламжлалын [a,b] завсар дахь хамгийн бага утга. Тэгэхээр байгаа
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 7
бол 1222qPxnΔ⋅≤−ξ байх юм. Үүнээс дараагийн дөхөлтийг сайтар сонгож ()(''0xf болон )('0xf ) чадвал давтал бүрт нийлэлт квадрат хуулиар сайжирна. (2,6) томъёоноос давтлыг 1212−−>Δ⋅=ΔnnxxPq (2.7)
алдааны хүрээнд тооцвол Δ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ⋅≤−2211222PqqPxnξ (2.8)
буюу язгуур нь nxξ шийд рүү урьдаас өгсөн Δ нарийвчлалтай бодогдох юм. (2.7) томъёоноос харвал язгуурт дөхөж очиход ) уламжлал бага утгатай байвал тооцоо удаан явагдах юм. ('nxf
Геометр тайлал.
Ньютоны арга нь хялбар геометр дүрслэлтэй. цэгийг дайруулан муруйд татсан шүргэгчийн Х тэнхлэгийг огтолсон цэг нь ))(,(nnxfx1+nx)(xfy=0)(=xf тэгшитгэлийн ξ язгуур тийш очих дараагийн дөхөлт нь болно. (Зураг 2,2)
Зураг2,2
Алгоритм
Input - гарааны цэг, - нарийвчлал, - давталтын тоо 0xΔ0n
Output Ойролцоо шийд х, эсвэл бүтээгүй хариу
Step1. n=1
Step2. while do Steps 3-6.
)('/)(000xfxfxx−=
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 8
f
Step4. iΔ<−0xx Output x;
Stop.
Step5.
Step6. xx=0
Step7. Output n
0 арга. арга боловч
Stop.
2.3. Х
Ньютоны арга нь тэг
урьдсанаар давтлын алхам бүрт f(x) функцийн уламжлалыг мэдэх хэрэгтэй. f’(xn) уламжлбайвал тооцооны үйлдэл удааширахыг дээр бид үзсэн. Дурьдсан бэрхшээлийг давахын тулд Ньютоны аргын яльгүй өөр хувилбарыг хэрэглэх болжээ. 1−nx цэг дээрх уламжлалыг ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎛−=−−11)()()('limnnxftfxf
−1n байдлаар212112121)()−−−− −−
Хэрэв 2−=nxt гэвэл nnxНьютоны (2.5)nnxxxfЭнэ )f уламж томъёонд
('1−nx)()())((2111−−−− −−=nnnnnxxxfxx (2.9) ойролцоо,2,3xx,...,2гы г хөвчийн арга х
Гарааны 0x ойролцоо утгыг сонгоно. Анхны дөхөлтөд хөвч Х тэнхлэгийгмуруйг ))((2xfx цэгт огтолно. Дараах давталт ))(,(11xfx цэгээс Х тэнхлэгийг х3 дайрч муруйг цэгт огтолно. Ийнхүү ямагт (xгээс гарсан хөвч Х тэнхлэгийг x,1гээр дайрч муруйг огтолсоор))((3xfxx цэ))(,11xf цэ∞→n хязгаарт )0)(,(=ξξf тэгшитгэлий язгуурын цэг рүү нийлнэ. (Зураг
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 9
Зураг 2,3
Алгоритм
Input 1- гарааны цэг, - нарийвчлал, - давталтын тоо 0x,xΔ0n
Output Ойролцоо шийд х, эсвэл бүтээгүй хариу
Step1. n=2, )(),(1100xfpxfp==
Step2. while do Steps 3-6. 0nn≤
Step3. (xn-ийг тооцоолно.) )/()(010111ppxxpxx−−−=
Step4. if Δ<−0xx then
Output x; үйлдэл бүрэн төгсөнө.
Stop.
Step5. n=n+1
Step6. xx=0
Step7. Output n0 давталтын дараа тооцоо бүтсэнгүй.
Stop.
Дасгал
1. Дараах тэгшитгэлүүдийг Ньютоны аргаар 10-4 нарийвчлалтай бод.
А. Б. ]4,1[,05223=−−xx]2,3[,01323−−=−+xx
В. ]2,0[,0cosπ=−xx В. ]2,0[,0sin2.08.0π=−−xx
2. Дараах бодлогуудыг Ньютоны арга хэрэглэн 10-5 нарийвчлалтай тооцоол.
a. e
b. ]2;3.1[,0)1cos()1ln(=−+−xx
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 10
c. ба [3;4] ]3;2[,0)2(2cos22=−−xxx
d. ба [e;4] ]2;1[,0ln)2(2=−−xx
e. ба [3;5] ]1;0[,032=−xex
f. ба [6;7] ]4;3[],1;0[,0sin=−−xex
3. Нэгдүгээр дасгалд өгсөн бодлогуудыг хөвчийн аргаар 10-4 нарийвчлалтай шийд.
4. Хоёрдугаар дасгалд өгсөн бодлогуудыг хөвчийн аргаар 10-5 нарийвчлалтай шийд.
5. 2,2cos21sin4121002π=−−+=xxxxx тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар 10-5 нарийвчлалтай тооцоол. Ингэхэд энэ бодлогод Ньютоны арга тохирохгүй байгааг тайлбарла.
6. Дараах 4-р зэргийн олон гишүүнт
9221918230)(234−−++=xxxxxf
нь [-1;0] болон [0;1] завсарт тэг утгатай. Тэр язгууруудыг Ньютоны болон хөвчийн аргыг хэрэглэн 10-6 нарийвчлалтай ол.
7. Ньютоны аргаар тэгшитгэлийн язгуурыг 10-16 нарийвчлалтай ол. Мөн алгебрийн аргаар жинхэнэ шийдийг олж жиш. xxxf213573)(⋅−=+
8. функцийн тохиолдолд өмнөх дасгалыг давтан хий. 1732)(2+⋅−=xxxf
9. Хөвчийн аргыг ашиглан функцийг гарааны xxxfcos)(3−−= 0−=x, ба цэг авч дөхөлтийг ол. 01=x432,,xxx
2.4. Эгэл давтлын арга
Эгэл давтлын аргад (2.1) тэгшитгэлийг эн тэнцүү
(xϕ (2.7) x=
тэгшитгэлээр сольж дараалан дөхөх замаар шийддэг. Тэгшитгэлийн жинхэнэ шийд гэе. (2.7) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 0ξийнд оронд x0-тойм тоо авбал x1=)(0xϕ. Цааш нь давтлыг x2=)(1xϕ…….. xn=)(1+nxϕ… мэтээр үргэлжлүүлж болно. Ингэснээр
x0,x1, ...xn,... (2,8)
Теором: [a,b] завсарт )(xϕфункц тасаралтгүй бас диференциалчлагдаж байхын зэрэгцээ (2,8) цуваа хязгаартай байвал (2,5) дарааллын хязгаар нь (2,7) тэгшитгэлийн язгуур байна.
ξ nn=)(1−nxϕ
)()lim()(limlim11ξfxfxfxnnnn===∞→−− (2.9)
байх буюу үнэхээр {xn} дарааллын хязгаар нь (2.7) тэгшитгэлийн язгуур болж байна.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 11
x=)(xϕ тэгшитгэл [a,b] завсарт ганц шийдтэй бөгөөд )(xϕфункц нь
1.
[a,b] завсарт )(xϕфункц нь диференциалчлагдаж байвал
2.
Бүх x∈[a,b] цэгт ],[ba байх буюу бүх утга нь энэ завсарт харъяаллалдаж байвал
3.
Бүх ],[bax∈цэгт {
[]1)('<≤qxϕ (2.10)} шинэ мөр нөхцөл хангасан бодит тоо q олдож байвал xn=)(1−nxϕ (n=1,2,...) ;дараалаланхны гарааны ямарч x0 утгатай байхад нийлнэ.
Харин [a,b] завсарт )уламжлал эсрэг бол ('xϕ
[][11−−−<−nnnxxqqxξ (2.11)
сөрөг бол
[][1−−<−nnnxxxξ (2.12)
Эндээс харвал n→∞[]01→−−nnxx бөгөөд )(limξξfxnxn==∞→ хязгаарт нийлэх юм.
Алдаа:
0)('>xϕбайхад n давтлын дараа []Δ<−−1nnxx байгаа бол тооцоогоор шийдийг
q/(1-q) алдаатай олно. Харин 0 бол алдаа Δ)('<xϕΔ-аас хэтрэхгүй
Тэгшитгэлийг давталтын хэлбэрт оруулах нь
0)(=xf тэгшитгэлийг давтал үйлдэхэд тохирсон хэлбэрт оруулахын тулд
)(xf α−
функц байдалтай бичие. Энэ тохиолдолд
)()(xfxxαφ−= (2,13)
-тогтмол тоо
Энэ функц дээрх теорем болон дараалал нийлэлтийн (2,10) нөхцлийг хангаж байх ёстой. (2.13) функцийг диференциалчлая:
)('1)('xfxαφ−= (2.14)
Энд α тогтмолыг бүх ],[bax∈ цэгт дараалал нийлэх (2.10) нөхцөл биелж байхаар сонговол 1)('x
Энэ нөхцлөөс α тогтмолын утгыг олно. Шийдийн геометр тайлал. (2.7) тэгшитгэлийг байдалтай бичиж график байгуулая. (Зураг 2,2). )(xxφ= тэгшитгэлийн ξ язгуур нь )(xyφ= муруй ба xy= шулууны огтолцлын цэгийн абцисс нь юм.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 12
(Зураг2,4)
Энэхүү )(xyφ= муруйд тулсан сумны абцисс нь ξ шийдрүү ойртож буй дараалсан дөхөлт юм. (зураг 2,4 а,б)
Алгоритм )(xxφ= тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд гарааны цэг сонгоно. 0x
Input -гарааны цэг, 0xΔ,ε- нарийвчлал, - давталтын хамгийн их тоо 0n
Output Ойролцоо шийд x буюу бүтээгүйн хариу.
Step1. n=1
Step2. while n<= do steps 3-6. 0n
Step3.
(xxφ= (xn –ийг тооцоолно.)
Step4. if Δ<−0xx then
Output x. Үйлдэл бүрэн төгсөнө.
Stop.
Step5. n=n+1 Step6. (-г шинээр авна.) xx=00x
Step7. n давталтын дараа тооцоо бүтсэнгүй.
Дасгал. [1;2] завсарт тодорхойлогдсон тэгшитгэл ганц x= 1.365230013 шийдтэй. Түүнийг 010423=−+xx хэлбэрт алгебрийн олон хялбар аргаар оруулж болно. Тэгшитгэлийг дараах байдлаар хувиргая. )10(41,1043232xxxx−=−=
эндээс
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 13
31021xx−±=
Үүнээс
А. 2131)10(21)(xxx−==φ хялбар бусад аргуудыг хэрэглэвэл
Б. 104)(232+−−==xxxxxφ
В. )410()(23xxxx−==φ
10)4(2=+xx гэдгийг анхаарвал
Г. 214410)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+==xxxφ
104)()(23+−−⋅=⋅xxxxxxφφ гэж бичээд )(xφ функцийг олон янзаар олж болно. Тухайлбал: гэж сонговол xxx83)(2+=φ
Д. xxxxxxx83104)(2235+−+−==φ
Тооцоо: Эдгээр тэгшитгэлийг гарааны 5.10=x утгаас эхлүүлэн нарийвчлалтай давтан тооцоолж шийдийг дараах хүснэгтэд өрж жинхэнэ шийдтэй жишиж дүгнэлт хийгээрэй. 310−
Хүснэгт 1,1
n
А
Б
В
Г
Д
0
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
1
2
Бие даах бодлогууд:
1.
[1.2] завсарт өгөгдсөн 03 тэгшитгэлийн шийдийг 10=x гараанаас эхлэн 210− нарийвчлалтай ол.
324=−−xx
2.
3 функцтэй тэгшитгэлийн 0)(
2)(24−−+=xxxxf=ξf шийдийг олохын тулд алгебрийн арга хэрэглэн
а. 4121)23()(xxx−+=φ б. 4142)23()(xxx−+=φ
г. 212323)(⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xxxφ д. 144323)(3244−+++=xxxxxφ хэлбэрт оруулж бод.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 14
3.
[1.2] завсарт өгөгдсөн 01 тэгшитгэлийн шийдийг 10=x гараанаас эхлэн 210− нарийвчлалтай ол.
3=−−xx
4.
3 тэгшитгэлийг ашиглан
)(2−=xxf3 тоог 10-4 нарийвчлалтай тооцоол.
5.
[1.2] завсарт өгөгдсөн 0
sin2=+xxπ тэгшитгэлийн шийдийг 10=x гараанаас эхлэн 210− нарийвчлалтай ол.
3.Шугаман алгерын систем тэгштгэл
3.1.Мэдэгдэхүүн ба гол тодорхойлолтууд.
n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийг авч үзэе:
nnnnnnnnnnnbxaxaxaEbxaxaxaEbxaxaxaE=+++=+++=+++,,,...............................,,,,,,2211222221212112121111 (3.1)
Энэ систем тэгшитгэлийг хураангуйлан
XAˆˆ⋅ (3.2)
байдаптий бичдэг. Энд
nnnnaaa...21
(3.3)
бол хэмжээстэй квадрат матриц. nnЧXˆ нь n байгуулагчтай вектор:
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=Xˆ (3.4)
нь n байгуулагчтай вектор:
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 15
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞nbbb....21
⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=Bˆ (3.5)
Шугаман алгебрийн (3.1) системийн шийд болон түүнийг тооцоолон олох аргатай товч танилцъя.
1. Шийд: (3.1) системийн бүх тэгшитгэлүүдийг нэгэн зэрэг адилтгал болгож байгаа хувьсагчдын nncxcxcx===....,,,2211 тодорхой тоон утгуудыг түүний шийд гэнэ.
2. Шууд арга: Төгсөглөг тооны арифметик үйлдлээр шуудхан шийдийг олдог аргыг систем тэгшитгэлийг бодох шууд арга гэдэг. Зориуд ойролцоолол хийгээгүй бол ямагт жинхэнэ шийдийг олдог.
3 . Нийтлэг жорын дагуу дараалсан олон дөхөлтийн хязгаар байдлаар систем тэгшитгэлийн шийдийг олдог аргыг систем тэгшитгэлийг шийдэх давтлын арга хэмээнэ.
3,2 Тодорхойлогчийг тооцоолох нь.
(3.1) систем тэгшитгэлийн матриц хэлбэр (3.2) нь ганц шийдтэй байхын тулд тодорхойлогч нь зайлшгүй тэгээс ялгаатай байх учиртай. Иймд систем тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд тодорхойлогчийг нь эхлээд бодох хэрэгтэй. Тодорхойлогчийг нь бодох нэг арга нь түүний матрицыг гурвалжин матрицад хувиргахад тулгуурлана. Гурвалжин матрицын тодорхойлогч нь диагоналийн элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.
???????????????
Шугаман систем тэгшитгэлийг бодох аргууд
Гауссын арга
(3.1) тэгшитгэл дэх Aˆ матрицыг өргөтгөж дараах байдлаар бичье.
+++,,2,1.....nnnna (3.*) Энд Aˆ бол (3.2) тэгшитгэл дэх матриц бөгөөд Bˆ багана матрицын элементүүдийг 1,+=niiab болгон тэмдэглэв.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 16
Гауссын зайлуулах арга
Энэ арга нь системийн 2 –р тэгшитгэлээс эхлэн хувьсагчдын өмнөх коэфициентүүдээс нэг нэгээр зайлуулсаар хамгийн сүүлийн тэгшитгэл нэг хувьсагчтай тэгшитгэл болно. Энэ үед тэр хувьсагчийн утгыг олж дараа нь бусад хувьсагчдыг олно. Ингэхдээ бол дараачийн бүх тэгшитгэл дэх 011≠aniai,....,3,21,=коэфициентүүдийг -д харьцуулаад түүгээр 1 тэгшитгэлийг үржүүлээд (11aE1111,Eaai⋅) бусад тэгшитгэлүүдээс харгалзуулан хасвал (1111,EaaEi− )
-ээс бусад бүх тэгшитгэлийн 1 хувьсагч зайлна. Өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн өмнөх коэфициент 0 болно. Шинээр гарсан 1ExniEi,...,3,2= гэсэн 1−n тэгшитгэлийн системд бол өмнөх үйлдлийг давтсаж, гэх мэтчилэн хамгийн сүүлд гэсэн нэг хувьсагчтай тэгшитгэлд хүрнэ. 0≠22anx
3,2 Шугаман тэгшитгэлийг бодох Жакобын давтлын арга.
Өмнөх (3.1) буюу (3.2) шугаман тэгшитгэлийг энэ аргаар бодохдоо дараах үйлдлийг хийнэ.
I.
Тэгшитгэлийг давтал гүйцэтгэх хэлбэрт хөрвүүлнэ. Ингэхийн тулд (3.2) тэгшитгэлийг түүн лугаа эн тэнцүү
XTXˆˆˆ+⋅= (3.6)
матриц байдалтай болгоно. Tˆ бол тодорхой тоон матриц, C тоон вектор. ˆ
II.
Гарааны ойролцоо 0ˆX векторыг сонгоно.
III.
Дараалсан (∞→k) давтлаар
CXTXkkˆˆˆˆ)1()(+⋅=− (3.7)
ойролцоо шийдийг үүсгэнэ.
Математик илэрхийлэл. Сая өгүүлсний дагуу (3.1) тэгшитгэлийг (3.6) хэлбэрт оруулъя. Тэгшитгэлээс элемент нь тэгээс ялгаатай (0iia≠iia) бол i хувьсагчийг xniabaxaxiiinijjiijjii,....,2,1,1,=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=Σ≠= (3.8)
байдлаар тодорхойлъё. Энэхүү (3.8) тэгшитгэл давтал үйлдэхэд тохиромжтой. Гарааны утгуудыг ойролцоо сонгож к давтал үйлдвэл: 00201,.....,,nxxx
(3.9)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 17
ойролцоо шийд олдоно. Энэ аргыг Жакобын давтлын арга гэнэ.
Нийлэлт ба алдааг үнэлэх.
Бид олон хэмжээст огторгуйд ажиллаж байгаа учраас дарааллын хязгаар болон ойролцоо шийд жинхэнэ шийдрүү нийлэх явцыг үнэлэх арга нэг хэмжээст тохиолдлоос өөр болно.
Векторын норм: (3.4) томъёогоор өгөгдсөн векторын X норм нь n хэмжээст огторгуй дахь координатын 0 эхээс Xˆ векторын үзүүр хүртэлх зайгаар тодорхойлогдоно. Иймд 12⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Σ=niixX (3.10)
k,k-1 давтлаар олдсон )(ˆkX ба )1(ˆ−kXвекторын хувьд бол нь координатуудын ялгавар тул хоёр векторын үзүүрийн хоорондох зай нь )1()(−−kikixx)1()(ˆ−−kkX болно. Энэ зай нь ойролцооллын абсолют алдааг тодорхойлох бөгөөд харин =−−)()1()(ˆˆˆkkkXXX (3.11)
харьцаа нь харьцангуй алдааг илэрхийлнэ.
Алгоритм
3,2 Шугаман тэгшитгэлийг бодох Гаусс-Зейдлийн арга.
Гаусс-Зейдлийн арга нь Жакобын аргыг сайжруулсан хувилбар юм. Үүний математик гаргалгааг орхиж гол санааг нь хэлбэл )1(ˆ−kX векторын байгуулагчуудыг тоог тооцоолоход хэрэглэнэ. Тооцоонд байгуулагчууд дэс дараалан олдоно. Харин энэхүү шинээр олдсон бэлэн тоог түүнээс хойших байгуулагчийг тооцоолоход ашиглах нь илүү нарийвчлалд хүргэдэг. Тиймээс Гаусс-Зейдлийн аргаар шийдийг тооцоолохдоо (3.9) илэрхийллийн оронд )(kix)(1)(1kikxx−)(2,.....,,kx)(1kix−)(kix
(3.12)
давтлын томъёог хэрэглэнэ.
Алгоритм
Дасгал.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 18
1.
Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ганц T шийдтэй. Энэ тэгшитгэлийг давтлын хэлбэрт бичээд Жакобын аргаар T)0,0, гарааны утгаас эхлэн )(4)(3 ойролцоо шийд үүсгэн дээрх жинхэнэ утгад 410− нарийвчлалтай нийлэх хүртэл давтал үйлдэж үр дүнг дараах хүснэгтэд бөглө.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−−=−+−=+−+−=+−15831110225311021043243214321321xxxxxxxxxxxxxx,kkxxX)1,1,2,1(ˆ−=X0,0(ˆ=)(2)(1,,kkxx
К
0
1
2
3
4
..........
)(1kx
)(2kx
)(3kx
)(4kx
2.
Өмнөх бодлогод харьцангуй алдааг )10()9()10(ˆˆˆXXX− гэж үнэл.
3.
Дараах шугаман тэгшитгэлийн системийг Жакобын аргаар 0ˆ ˆ)0(=X гараанаас эхлэн эхний гурван давтлаар шийдийг ол.
4.
Өмнөх дасгалыг Гаусс-Зейдлийн аргаар давтан үйлд.
5.
Шугаман тэгшитгэлийн систем нь T жинхэнэ шийдтэй. Гаусс-Зейдлийн аргаар T ойролцооллоос эхлэн шийдийг 7
⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=−+=+244304324343232121xxxxxxxX)1,1,1(ˆ)0(=X)5,4,3(ˆ−==
k давтлаар олж үр дүнг хүснэгтэнд өр.
Шугаман систем тэгшитгэл ба матриц
Дараах алгебрийн шугаман систем
nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa=+++=+++=+++,,,...............................,,,,,,22112222212111212111 (МД1)
тэгшитгэлийг
(МД3)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 19
матриц байдаптий бичдэг. Энд
⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nnnnnnaaaaaaaaaA............................ˆ212222111211 , , (МД3) ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nxxxX....ˆ21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=nbbbB....ˆ21
Aˆ бол хэмжээстэй квадрат матриц. nnЧXˆ , Bˆ нь n байгуулагчтай вектор буюу багана матриц.
Нэгж матриц: эрэмбэтэй, гол диагоналийн дагуух элемент нь “1”, гол диагоналийн гаднах элементүүд нь “0” утгатай буюу nnЧ
⎩⎨⎧≠==jijiIji,0,1, (МД4)
нөхцөлд таарах Iˆ матрицыг нэгж матриц гэнэ.
Урвуу матриц: хэмжээстэй матриц байж. Мөнхүү эрэмбэтэй бөгөөд nnЧAˆ IBAˆˆˆ=⋅ нөхцөлд таарах Bˆ матрицыг Aˆ матрицын урвуу матриц гэдэг бөгөөд 1ˆˆ−=AB гэж тэмдэглэнэ. Тэгэхлээр IAAˆˆˆ⋅−1= байна. Урвуу матрицгүй бол матрицыг үл хөрвөх (сингуляр) матриц гэнэ. Aˆ
Шинж чанар
А. Хэрэв А матриц урвуутай бол тэр нь цор ганц байна.
Б. хөрвөх матриц бол байна. 1ˆ−AAAˆ)ˆ(11=−−
В. Хэрэв Bˆ нь хэмжээстэй хөрвөх матриц бол байна. nnЧ111ˆˆ)ˆˆ(−−−⋅=⋅ABBA
Жишээ1.
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=211012121ˆA ба ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=313131929194919592ˆB хоёр матриц өгөгджээ. Энэ хоёр матрицын үржвэр нь IBAˆ100010001313131929194919592211012121ˆˆ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−⋅⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⋅
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 20
Бас IABˆˆˆ=⋅ болохыг ч үзүүлэхэд төвөггүй. Тэгэхлээр дээрх шинж ёсоор ба Aˆ
Bˆ хоёр нь хөрвөх матриц бөгөөд 1ˆˆ−=AB мөн ялгаагүй 1ˆˆ−=BA байж болно.
Д2. Систем тэгшитгэл ба урвуу матриц
Урвуу матрицыг нь олсноор (МД2) матриц тэгшитгэлийн шийдийг шууд олно. (МД2) матриц тэгшитгэлийг зүүн гар талаас нь 1ˆ−A матрицаар үржүүлэе.
XXIIAAˆˆˆ,ˆˆˆ1=⋅=⋅− болохыг анхаарвал
BAXAAˆˆˆˆˆ11⋅=⋅⋅−− буюу BAXˆˆˆ1⋅=− (МД5)
Эндээс (МД3) томъёог анхаарвал шийдийг шууд олно. ix
Жишээ2.Дараах шугаман тэгшитгэлийг шийдэе.
⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=+=−+42322232121321xxxxxxxx
тэгшитгэлийг матриц хэлбэрт бичвэл:
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−432211012121321xxx (МД6)
Энэ матриц нь өмнөх Жишээ1 – д үзсэн Aˆ матриц юм. Түүний урвуу матриц нь Bˆ илэрхий тул (МД6) тэгшитгэлийн хоёр талыг Bˆ матрицаар үржүүлж, жишээг анхаарвал ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=
⎜⎜⎜⎝⎛⎢⎢⎢⎣⎡⋅
буюу ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3591397321xxx байна. Ийнхүү
МД3. Матрицын тодорхойлогч Тэгшитгэл болон үл мэдэгдэгчдийн тоо нь ижилхэн шугаман систем тэгшитгэл нэгэн утгатай шийдтэйг детерминант тодорхойлно. Дээрх (МД2) тэгшитгэлийн матрицын детерминантыг detA буюу Aˆ гэж тэмдэглэнэ.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 21
Детерминантын шинж:
1.
Хэрэв Aˆ матриц нь 1х1 эрэмбэтэй бол тодорхойлогч нь тэр элементтэйгээ тэнцүү байна.
2.
Минор. nnЧ эрэмбийн Aˆ матрицын i дэх мөр болон j дэх баганыг нь зайлуулахад үүсэх )1((
)1−Чn эрэмбийн дэд матрицын детерминантыг Aˆ матрицын jiM, минор гэнэ. −n
3.
jiM, минортой jiji илэрхийллээр холбоотой jiA, хэмжигдүүнийг алгебрийн гүйцээлт гэнэ.
jiMA,,)1(⋅−=+
4.
Хэрэв 1>n бол nnЧ эрэмбэтэй Aˆ матрицын детерминантыг
4. Интерполяци гэж юу вэ?
Функц хэдэн янзаар өгөгдөх вэ? Томъёогоор, графикаар, хүснэгтээр өгөгдөж болно.
Судлаач хүн туршилтын явцад нэг хэмжигдэхүүний утгуудад нөгөө хэмжигдэхүүний утгууд харгалзаж байгааг хэмжилтээр тогтоосон юм гэж саная. Энэ утгуудаар хүснэгт зохиовол нэгэн функц өгөгдлөө гэж үзнэ. Функцийн энэ илэрхий утгыг хэрэглэн хувьсагчийн бүхий л ]nxxx,..,,10nyyy,..,,10;[0nxxx∈ цэгт функцийн утгыг олох асуудал амьдралд олон тохиолдоно. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд f(x) функцэд сайтар дүйсэн бас тодорхой томъёон хэлбэртэй F(x) дөхүүр функцийг хайж олдог. Дөхүүр функцийг байгуулах асуудлыг шийдэхдээ )цэгт f(x) болон F(x) функцийн утгууд хоорондоо яг давхцаж байх шаардлагад тулгуурладаг. Иймд ,..,2,1n=(ixi
(4.1)
байх ёстой. Дөхүүр функцийг ингэж олохыг интерполяци ( хэлхэлт ) хэмээн нэрлэнэ. Харин цэгүүдийг хэлхэлтийн зангилаа гэнэ. nxxx,..,,10
Жишээ нь: бидэнд үл мэдэгдэх f функцийн зарим нэг утгууд дараах хүснэгтээр өгөгдсөн гэж саная.
x
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
0
0.08415
0.9093
0.1411
-0.7568
-09589
-0.2794
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 22
Эдгээрээс өөр цэг дээр тухайлбал x=2.5 цэг дээр ямар утгатай бол оо гэсэн асуулт гарч ирнэ. F дөхүүр функцийг олох яг точны арга байгаа юу? Хичнээн цэг өгөгдөж байж олох боломжтой вэ? гэх мэт асуудлууд гарч ирнэ.
4,1 Linear interpolation
Хялбар аргуудын нэг бол шугаман интерполяци юм. Өмнөх жишээн дэх f функцийн 2,5 цэг дээрх утгыг энэ аргаар тооцоолбол 2,5 нь 2 ба 3 ын дундаж цэг учраас f(2.5) утга нь f(2)=0.9093 ба f(3)=0.1411 утгуудын дундаж утга байх бөгөөд 0,5252 байна.
Ер нь шугаман интерполяци нь хүснэгтэнд өгөгдсөн дараалсан 2 цэгийг шулуунаар холбодог бөгөөд тэр шулууных нь тэгшитгэл: iiiiiixxyyxxyy−−−+=++11))((
байна. Шугаман интерполяци нь хурдан бөгөөд хялбар боловч нарийн, алдаа багатай тооцоолж чадахгүй. Өөр нэг дутагдалтай тал нь nixi,...,1,0= цэгүүд дээр диференциалчлагддаггүй. Шугаман интерполяци маш нарийн тооцоолж чадахгүй учраас дараах алдаа гарна.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 23
21)()()(iixxCxgxf−≤−+ энд )(''max81],[1ygCiixxy+∈= байна.
4,2 Олон гишүүнтээр дөхөх нь (Polynomial interpolation)
Өмнө нь өгөгдсөн цэгүүдийг хооронд нь шугаман функцээр сольж байсан бол одоо n зэргийн олон гишүүнтээр солих арга бодоё.
Жишээ нь өмнөх жишээнд өгөгдсөн 7 цэгийг дараах олон гишүүнтээр дөхөж болно.
xxxxxxxf9038.02255.03577.007321.0003130.00001521.0)(23456++−+−−=
Энд байна. 5965.0)5.2(=f
Σ=−−=++++=nkkknnnnnxaaxaxaxaxp00111,....,)( (4.2)
Энэхүү олон гишүүнтийг (4.1) нөхцөлд тохируулснаар коэффициентүүдийг нь бүрэн тодорхойлно. олон гишүүнтийг (4.1) нөхцөлд тохируулвал naaa,....,,10)(xpn
(4.3)
n+1 шугаман систем тэгшитгэл болно.
(4.3) системийг бодож үл мэдэгдэгчийголно. Эдгээр коэффициентүүдийг (4.2) илэрхийлэлд орлуулж дөхүүр функцийн томъёо илэрхийллийг гаргана. naaa,....,,10
Хэрэв дээрх системийн үндсэн тодорхойлогч:
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 24
(4.4)
тэгээс ялгаатай байвал систем тэгшитгэл ганц шийдтэй байдаг. Иймээс мөн хэлхэлтийн олон гишүүнт ганцхан байна.
. Алдаа нь:
4,3 Лагранжийн олон гишүүнтээр дөхөх
4,4 Гурван диагоналт матрицыг үржигдэхүүнд задлах
. 5 Функцийн тооцоон диференциалчлал
Функцийн диференциалыг тооцоон дунд авах хэрэгцээ олонтоо тохиодог. Тооцоон диференциалыг авахад түүнийг өндөр нарийвчлалд хүргэх асуудал чухал болдог юм.
5,1 Тооцоон диференциалчлалын тухай ойлголт
)(xf функцийн уламжлалыг
(5.1)
дүрмээр тодорхойлдог. Тооцоон диференциалчлалд (5.1)-ээр илэрхийлэгдэх төгсгөлгүй бага хэмжигдэхүүний харьцааг xxfxxfxfΔ−Δ+≈)()()(' (5.2)
төгсөглөг илэрхийллээр солино. (Зураг 5,1). Энэ томъёог хэрэглэн х цэг дэх уламжлалыг тооцоолохдоо
1.
Уламжлалыг олох х цэгийг өгнө.
2.
Хувьсагчийн xΔ өөрчлөлт өгнө.
3.
(5.2) томъёогоор уламжлалыг тооцоолно.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 25
Зураг 5,1
Төгсгөлгүй бага (5.1) өөрчлөлтийг төгсөглөг (5.2) өөрчлөлтөөр солиход тооцоон диференциалчлалын гол алдаа үүсдэг. Энэ алдааг үнэлэхийн тулд (5.2) томъёон дахь функцийг Тэйлорын цуваанд задлая. )(xxfΔ+nnxnxfxxfxxfxfxxfΔ++Δ+Δ+≈Δ+!)(,,,!2)(''!1)(')()(2 (5.3)
Энэ томъёог (5.2) илэрхийлэлд орлуулбал
!3)('''2Δxx!2)('')('+Δ+fxxfxf
,,,,+ (5.4)
Эндээс үзвэл баруун гар дахь функцийн ойролцоо уламжлал ) нь зүүн гар дахь уламжлалаас ялгаатай буюу алдаа агуулж байна. Хэрэв ('xf('xfxΔ бага бол алдааны цуваан дахь голлох хувь нь xxfΔ!2)('' гишүүнд оногдоно. Үүнээс үзвэл алдаа нь хувьсагчийн ялгаврын нэгдүгээр зэрэгтэй шууд хамааралтай байна. (Зураг 5,1) xΔ
Иймд тооцоон диференциалчлалыг )ξ(''2fx)()()xxfxxfx Δ+Δ−Δ+= (5.5)
байдалтай бичъе. Энд xxxΔ+<<ξ завсрын цэг. Жишээ1. функцийн уламжлалын 8Lnxxf=)(.10=xцэг дэх утгыг 001.0,01.0,1.0=Δx алхмаар ойролцоо утгыг томъёогоор тооцоолж алдааг үнэл. Гарах алдаа нь: 22)8.1(222)('xxfxΔ≤Δ=⋅Δξξ байна. Энд xΔ+<<8.18.1ξ
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 26
)8.1(xfΔ+

f 8.1(
0,1
0,64185389
0,5406722
0,0154321
0,01
0,59332685
0,5540180
0,0015432
0,001
0,58834207
0,5554013
0,0001543
Хүснэгт 5,1
5,2 Нарийвчлалыг сайжруулах арга зам.
Тооцоон диференциалчлалын алдааг багасгахын тулд xxxΔ+, дэх ) функцийн утгын оронд цэг дэх утгуудынх нь ялгаврыг хэрэглэдэг. (Зураг 5,2) Иймд (xfxxxxΔ+Δ−,xxxfxxfxfΔΔ−−Δ+≈2)()()(' (5.6)
Зураг 5,2 (5.5) томъёогоор диференциалчлалын гарах алдааг үнэлэхийн тулд функцийг Тэйлорын цуваанд задалж эхний дөрвөн гишүүнийг тооцъё. ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+Δ−Δ+Δ−Δ−⎜⎜⎝⎛+Δ+Δ+Δ+Δ≈...!3)('''!2)(''!1)(')(21...!3)('''!2)(''!1)(')(21)('3232xxfxxfxxfxfxxxfxxfxxfxfxxf (5.7)
Энд хаалтыг нээж эмхэтгэвэл: (5.8)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 27
Үүнээс алдааны гол гишүүн нь !3)('''2xxfΔ буюу xΔ шилжилтийн хувьд хоёрдугаар эрэмбийн бага хэмжигдэхүүн байх юм. Тийнхүү тооцоон диференциалчлалыг сайн нарийвчлалтай олохын тулд
ε
f (5.9)
томъёог ашиглана. (Зураг 5,2) Энд !3)('''xxfΔ=ε (5.10)
Жишээ2 функцийн уламжлалын 8Lnxxf=)(.10=xцэг дэх утгыг 001.0,01.0,1.0=Δx алхмаар ойролцоо утгыг xfΔx Δ − 28.1()) томъёогоор тооцоолж алдааг үнэл. Дараах хүснэгтийг бө

xfxΔ−Δ 28.1() 3)(''xxΔ
0,1
0,01
0,001
Хүснэгт 5,2
5,3 Функцийн тоон утгуудаас диференциал авах Функцийн тоон утгаас диференциал авах нь практик бодлогод тохиолдож байдаг. функцийн утга ] завсарт дараах хүснэгтээр өгөгдсөн байг. (Хүснэгт 5,3) )(xf
……….
)(xf
…………….
Хүснэгт 5,3 Хүснэгтэд тоон утгыг нь өрсөн ) функцийг дурын ](xf,[bax∈ цэгт диференциалчлахын тулд эхлээд энэ функцийн хэлхэлтийн ) олон гишүүнтийг байгуулна. Энэхүү ) олон гишүүнтээс авсан уламжлал нь ) функцийн уламжлал болох буюу (xPn (xf
(5.11)
Алдаа нь ε гэвэл
(5.12)
болно.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 28
6. Диференциал тэгшитгэл юу вэ?
Үл мэдэгдэх функц болон түүний нэг буюу түүнээс дээш эрэмбийн уламжлалыг агуулсан тэгшитгэлийг диференциал тэгшитгэл гэнэ. Тухайлбал n эрэмбийн диференциал тэгшитгэлийг
0),...,'',',,()(=nyyyyxF (6.1)
хэлбэртэй бичиж болно. Энд x нь үл хамааран хувьсагч, )(xyϕ= бол үл мэдэгдэх фунзц, нь эл функцийн n эрэмбийн уламжлал. бол дээрх хэмжигдэхүүнийг агуулсан алгебрийн илэрхийлэл. )()(xyn)',,(yyxF,...,'',)(nyy
Дээрх (6.1) тэгшитгэл нэг утгатай шийдтэй нь тодорхой байх ёстой. Тэр шийдийг олохын тулд захын буюу гарааны нөхцөлд тааруулдаг. Энэ нь цэгт 0x)(xyϕ= болон бүх уламжлалын дараах тодорхой утгаас эхлүүлэн (6.1) тэгшитгэлийг шийднэ гэсэн үг. )()(xyn
(00)(0000)(.....,,')(',)(nnyxyyxyyxy=== (6.2)
Математик хэлээр бол гарааны нөхцөлд тохируулснаар интегралчлалын тогтмолыг тодорхойлно. Тухайлбал
],[)(),('00baxyxyxfy∈== (6.3)
бол
∫+=xxCdxxfxy0)()( бөгөөд Cxy=)(0 (6.3а)
)()(xyn уламжлал агуулсан диференциал тэгшитгэлийг n ширхэг 1-р эрэмбийн диференциал тэгшитгэлд хувиргасаар шийдэх болон компьютер тооцоонд эвтэй хэлбэрт оруулдаг юм. Жишээлбэл: ),(22yxfdxxd= (6.4)
тэгшитгэлийг
,(')('yxfvxvy== (6.5)
хэлбэрт оруулна.
Диференциал тэгшитгэлийг шийдэх аргуудыг томъёон, график бас тооцооны гэсэн 3 үндсэн бүлэгт хамааруулна.
6,2 Пикарын арга
Пикарын аргыг хэрэглэн (6.3) төрлийн тэгшитгэлийн шийдийг томъёон функцээр ойролцоо илэрхийлж болдог. Функц f(x) нь ],[bax∈ мужид тасралтгүй тодорхойлогдсон бол (xy
шийд нэгэн утгатай байх тухай теорем бий. (6.3) тэгшитгэлийг
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 29
dxyxfdy),(= (6.6)
байдалтай бичиж хоёр талыг нь -оос 0xx хүртэл интегралчилбал
∫∫=xxxxdxyxfdydx00),( (6.7)
Баруун талыг нь интегралчилбал
∫+=xxdxyxfyxy0),()(0 (6.8)
(6.8) функцийг (6.3) тэгшитгэд орлуулж гарааны 00)(yxy= нөхцөлд тааруулбал
00000),()(ydxyxfyxyxx=+=∫ (6.9)
болж (6.9) шийд (6.3) тэгшитгэлд таарч байгааг илтгэж байна. Интеграл тэгшитгэл (6.8) –ыг хэрэглэн y шийдийг дараалан дөхөх аргаар олж болно. Гараанд 0yy= сонговол
∫+=00),()(001xxdxyxfyxy (6.10)
Сүүлчийн илэрхийлэл дэх интеграл зөвхөн x хувьсагч агуулах учраас интегралыг бодож x-ээс хамаарсан ойролцоо томъёон илэрхийлэл -ийг олно. Тэгээд -г түрүүчийн адил хэрэглэн 1y1y
∫+=00),()(102xxdxyxfyxy (6.11)
ойролцоо функц олно. Энэ үйлдлийг n дахин давтвал,
+=0),()(xdxyxfyxy ,...2,1=n (6.12)
Ийнхүү дараалан дөхөх аргыг хэрэглэснээр
(6.13)
ойролцоо шийдийн дараалал олдоно.
Алдааг үнэлэх нь:
Дээрх (6.13) дарааллын хязгаар нь (6.8) интеграл тэгшитгэл улмаар (6.3) тэгшитгэлийн жинхэнэ шийдрүү тодорхой нарийвчлалын хүрээнд дөхөж болно. Тиймээс i-р гишүүн дэх алдааг ∞→n
(6.14)
томъёогоор үнэлж болно. Алдаа
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 30
)!1(+=+iNMiiδε
1 (6.15)
Энд 0,),(,)('maxxxyxfNxfM−≥≥=δ
Дасгал: Дараах тэгшитгэлийн ойролцоо шийдийг ол.
1. 5.0)0(201)()('2=≤≤+−=yxxxyxy
2. 1)0(10cos)()('=≤≤⋅=yxxxyxy
3. .0)1(21)(2)('2=≤≤+=yxexxyxxyx
4. eyxexxyxxyx⋅=≤≤+−=2)1(21)(2)('2
8,3 Эйлерийн арга
Дифереенциал тэгшитгэлийн шийдийг графикаар дүрслэн босгох нь Эйлерийн аргын үндэс мөн. Өмнөх (6.3) тэгшитгэлийн шийдийг энэ аргаар хэрхэн олохыг үзье.
Эхлээд [a,b] завсрыг n тэнцүү h алхамтай завсарт хуваая.
iihaxi,...2,1,0=+= (6.16)
Энд nabh−=
Тооцооны томъёог гаргахын тулд (6.6) тэгшитгэлийг ] завсарт интегралчилъя: ,[1+iixx (6.17)
Энэ (6.17) томъёоны баруун талын интегралыг янз бүрийн утга чанараар ойролцоолон авахад Кошийн бодлогыг тооцоолон шийдэх өөр өөр жор боловсордог. Дээрх (6.17) томъёонд интегралыг ойролцоо тооцоолох тэгш өнцөгтийн аргыг хэрэглэх буюу constxi=)(ϕ утгатай авбал (6.18)
(6.18) илэрхийллийг (6.17) –д орлуулбал:
,...2,1),(1=+=+iyxhfyyiiii (6.19)
Энэ бол (6.3) маягийн тэгшитгэлийг ойролцоолон шийдэх Эйлерийн аргын жор мөн. Эйлерийн аргын нарийвчлалыг тодруулахын тулд (6.3a) дахь функцийг цэгийн орчимд Тейлорын цуваанд задлая.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 31
)(''2)()()(21iiiixyhxyhxyxy+⋅+=+ (6.20)
)(ixy функц (6.20) тэгшитгэлд таарч байгаа учраас ))(,()('iiixyxfxy= болохыг тооцвол ,...2,1,0)(''2))(,()()(21=+⋅+=+ixyhxyxfhxyxyiiiii (6.21)
Эндээс харвал эхний хоёр гишүүн нь (6.19) томъёонд таарч байна. Харин (6.21) томъёон дахь гурав дахь гишүүн нь тухайн алхам дахь алдааг илэрхийлж байна. (''22iixyh=Δ (6.22)
Алхам дахь алдаа алхмын квадратад ) шууд хамааралтай юм. Харин алхам бүр дэх бүх алдааны нийлбэр нь ) байна. Нөгөөтэйгүүр (2h(2hON⋅hN1= учир )(hO=Δ буюу алхмын нэгдүгээр зэрэгт шууд хамааралтай байна. Тэгэхлээр Эйлерийн аргаар (6.3) маягийн тэгшитгэлийг шийдэхэд алдаа байна. h≅Δ
6,4 Шийдийн график дүрслэл
Гарааны цэгт шийд утгатай. Аль болох бага алхам h авъя. 0x0yhxx+=01 цэгт (6.18) ёсоор
),()()(0001yxfhxyxy⋅+≈],[10xx1x. Энэ бол ) цэг дэх шүргэгчийн тэгшитгэл мөн. Тэгэхлээр завсарт хайж буй жинхэнэ шийдийн муруй ) цэг дэх шүргэгчийн хэрчмээр солих юм. Үзтэл цэгт энэ шүргэгч жинхэнэ муруй ())-гаас илт зөрж байна. (Зураг 6,1) ,(00yx,(00yx(xy
1x цэгт ,(00011yxfhyyy⋅=−=Δ.
Дээрх үйлдлийг цэгт давтвал ),(11yx))(,()(1111xxyxfyxy−+≈ шүргэгчийн тэгшитгэл 2xx= цэгт энэ шү),(11yx
гарна.
2y1fhy⋅+=. Тэгэ],[21xx завсарт эл шүргэгхэрчим нь жинхэнэ шийдээс зөрж байна. Иймд хлээр ),(111yxfhy ⋅=Δ хэмжээгээр ялгаатай. (Зураг 6,1)
Дээрх үйлдлийг давтан хийвэл алхам дээрх ойролцоо функцийн утгыг kx1+ky
kkyyyΔ+=+1 (6.23)
байдлаар олно. Энд (6.24) ,(kkkyxfhy⋅=Δ
),..,...,,21kyyyДээр өгүүлснээс үзвэл гарааны утгаас бусад бол бүгд жинхэнэ утгуудаас зөрөөтэй ойролцоо утга. Эдгээрийг хэрэглэн олж байгаа 0y),..(),...,(),(21kxyxyxy,..,...,,21kxxx цэг дээрх kyΔ өөрчлөлтүүд алдааг илэрхийлж байна. Иймээс жинхэнэ шийд функцээс илт зөрөөтэй. (Зураг 6,1)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 32
(Зураг 8,1)
Алгоритм
0],,[),('yybaxyxfy=∈= тэгшитгэлийн шийдийг ] муж дахь N+1 завсарт ойролцоолон олох нь: ,[ba
Input. Үзүүрийн цэг a,b; гарааны нөхцөл 0y
Output. x хувьсагчийн N+1 цэгт y шийдийн ойролцоо утгыг ойролцоо утгыг олно.
Step1. Nabh−= , 000)(yxyax==
Step2. For i=1,2,...N do Step3,4
Step3. y=y0+h*f(x0,y0) x=x0+ih
Step4. output (x,y)
Step5. Stop
Дасгал
5.0)0(201)()('2=≤≤+−=yxxxyxyxxy−+=5.0)1()(2 тэгшитгэлийг N=10 хуваалтаар ойролцоолон шийд. Жинхэнэ шийд нь: . Ойролцоо ба жинхэнэ шийдийг графикаар жишиж, дараах хүснэгтэд тоон утгыг өрж дүгнэлт хий. xe⋅
x
Хүснэгт 8,1
8,5 Эйлер Кошийн арга
Эйлерийн аргыг практик тооцоонд төдийл хэрэглэдэггүй. Ойролцоо шийдийн алдаа нь h алхмын нэгдүгээр зэрэгт шууд хамааралтайг дээр ярилцсан. Гэвч эл аргын математик гаргалгаа хялбар бөгөөд шийдийн утгыг дүрслэн тодруулахад дөт учраас түүнийг илүү нарийвчлалтай арга боловсруулахад суурь болгон ашигладаг аж. Дээр Эйлерийн аргын жорыг гаргахдаа (6.18) томъёонд тэгш өнцөгтийн нарийвчлал хэрэглэсэн. завсарт функцийг тогтмол хэмээн үзэх нь бүдүүн бараг болох нь илт. завсарт функц ],[1+iixx]1+ix),(yxf,[ix
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 33
тогтмол бус. Завсрыг таллан хувааж тус бүрт нь тэгш өнцөгтийн аргыг хэрэглэж хоёр үзүүрт нь функцийн утга ялгаатай тооцвол:
(6.25)
Үүнийг (6.17) томъёонд тавьбал: 2,(),(*111iiiiiiyxfyxfhyy+⋅+=+++ (6.26)
Геометр дүрслэлийн үүднээс энэ жорыг дараах байдлаар төсөөлж болно. утгыг цэгт тооцоолоод дараачийн гогцоонд цэгт энэхүү утгыг ашиглан (6.26) томъёогоор тоог дээрх хоёрын дундаж утга байдлаар тооцоолно. Ингэхэд алдааг эрс багасгадаг бөгөөд алхам дахь алдаа нь: байдаг. *1+iy,(iiyx1+ix*1+iy1+iy3hi≈Δ
Дасгал
1. тэгшитгэлийг Эйлерийн болон Эйлер Кошийн аргаар ойролцоолон шийдэж, шийд болон алдааг Хүснэгт 6,2 хүснэгтэд тоон утгыг өрж жинхэнэ шийдийн утгатай. жишиж, дүгнэлт хий. 5)0(201)()('2=≤≤+−=yxxxyxyxexxy⋅−+=5.0)1()(2
ix
Жинхэнэ утга
Эйлерийн арга
Алдаа
Эйлер Кошийн арга
Алдаа
Хүснэгт 6,2
2. Дараах тэгшитгэлүүдийг өмнөх Эйлер, Эйлер Кошийн аргаар шийд.
А. 5.00)0(]1;0[2'3==∈−=hyxyxeyx
Б.
В. 25.01)0(]1;0[3sin2cos'==∈+=hyxxxy
Г.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 34
3. Өмнөх дасгал дахь тэгшитгэлүүдийн жинхэнэ шийд нь
А. xxexexy2325151)(−−−= Б. xxxy−+=11)(
В. Г. xxxxy2ln)(+=343cos312sin21)(+−=xxxy
Функцууд бол шийд болон алдааг тоцооны алхам бүрт 1-р дасгалд хийсний адилаар үнэл.
4. Дараах тэгшитгэлүүдийг өмнөх Эйлер, Эйлер Кошийн аргаар шийд.
А. 1.01)1(]2;1['2==∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=hyxxyxyy
Б. 2.00)1(]3;1[1'2==∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=hyxxyxyy
В. 2.02)0(]2;0[)3)(1('=−=∈++−=hyxyyy
Г. 1.031)0(]1;0[255'2==∈++−=hyxxxyy
5. Өмнөх 4-р дасгал дахь тэгшитгэлүүдийн жинхэнэ шийд нь
А. xxyln11)(+= Б. )(ln)(xxtgxy=
В. xexy2123)(−+−= Г. xexxy5231)(−+=
Функцууд бол шийд болон алдааг тоцооны алхам бүрт 1-р дасгалд хийсний адилаар үнэл
8,6 Рунге-Куттагийн арга
Ердийн диференциал тэгшитгэлийг ойролцоо шийдэхэд гарах алдааг багасгах аргын үндсийг Рунге, Кутта нар боловсруулжээ. Эйлерийн болон Эйлер Кошийн арга эл бүгд хамаарна. Практик тооцоонд олонтоо хэрэглэдэг Рунг?-Куттагийн PK4 аргын математик жортой танилцъя.
Зангилааны цэгт функцийн ойролцоо утгыг тооцоолон гаргана. Гарааны цэгт . Алхам . Ингэхдээ утгыг nxxx,...,,2100)(yxy=nyyy,...,,21y0>h1+i)22(643211kkkkhyyii++++=+ (6.27)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 35
томъёогоор тооцоолно. Үүнд:
,(),,()2,2(),,(212yhxfkkhyhxfkhyhxfkyxfiiii+=++++=
31kk== (6.28)
)3hk+
Алдаа:
Эдгээр томъёоноос харвал Рунге-Куттагийн аргаар ];[hxxii+ завсарт функцийн ойролцоо утгыг олохдоо 2hxi+ болон зангилаан дахь функцийн утгад -аас хамаарсан тоон засварыг тооцож байна. Ингэснээр алдаа hxi+321,,kkk
hM⋅≅Δ (6.29)
жишигт хүрдэг. М үржигдэхүүнд тоон үнэлэлт хийх нь амаргүй учраас Рунгегийн дүрмийг хэрэглэдэг. Эл дүрэм ёсоор тооцоог эхлээд h алхамтай, дараа нь2h алхамтай үйлдэнэ. Бүтэн ба тал алхамтай утгыг болон )(hiy)2(hiy гэж тэмдэглэвэл алдааг ()hihiihiyyxyy−≤−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛221516)( (6.30)
томёогоор үнэлнэ. бол жинхэнэ утга. )(ixy
Алгоритм
Алгоритм
0],,[),('yybaxyxfy=∈= тэгшитгэлийн шийдийг ] муж дахь N+1 завсарт ойролцоолон олох нь: ,[ba
Input. Үзүүрийн цэг a,b; гарааны нөхцөл 0y
Output. x хувьсагчийн N+1 цэгт y шийдийн ойролцоо утгыг олно. Step1. abh−= , 000)(yxyax==
Step2. For i=0,1,...N-1 do Step3,4 Step3. )22(643211kkkkhyyii++++=+
x=x0+ih
Step4. output (x,y)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 36
Step5. Stop
Дасгал
1. тэгшитгэлийг Рунге Кутта болон Эйлер Кошийн аргаар ойролцоолон шийдэж, шийд болон алдааг Хүснэгт 6,3 хүснэгтэд тоон утгыг өрж жинхэнэ шийдийн утгатай. жишиж, дүгнэлт хий. 5)0(201)()('2=≤≤+−=yxxxyxyxexxy⋅−+=5.0)1()(2
утга
( ) i y x
ix
Жинхэнэ
Эйлерийн Кошийн арга
Алдаа
iy
Рунге Куттагийн арга
Алдаа iyxy−)(
Хүснэгт 6,3
2. Дараах тэгшитгэлүүдийг Эйлер Кошийн болон Рунге Куттагийн аргаар шийд.
А. 1.01)1(]2;1['2==∈⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=hyxxyxyy
Б.
В. 2.02)0(]2;0[)3)(1('=−=∈++−=hyxyyy
Г.
3. Өмнөх 2-р дасгал дахь тэгшитгэлүүдийн жинхэнэ шийд нь А. xxyln11)(+= Б. В. xexy2123)(−+−= Г.
Функцууд бол шийд болон алдааг тоцооны алхам бүрт 1-р дасгалд хийсний адилаар үнэл
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 37
6,7. Систем диференциал тэгшитгэлийг бодоход
Рунге-Куттагийн аргыг хэрэглэх нь
бичээгүй
7. Интегралыг ойролцоолон шийдэх нь.
)(xf функцээс [a,b] завсарт авсан тодорхой интеграл
∫=badxxfS)( (7.1)
Энэхүү интеграл нь f(x) муруй, Х тэнхлэг дээр [a.b] хэрчим, мөн x=a болон x=b шугамуудаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тодорхойлно. (Зураг 7,1)
Амьдралд тохиолдох f(x) муруй ихээхэн нарийн ярвигтай учир интегралыг шууд томъёон хэлбэрт гаргах нь төвөгтэй. Иймд интегралыг ойролцоолон тооцоолох аргаар бодох хэрэгтэй болдог.
7,1 Тэгш өнцөгтийн арга.
Зураг 7,1а,б –д үзүүлсэн f(x) функцээс [a.b] завсарт интегралыг ойролцоо тооцоолох математик илэрхийлэл гаргая.
Зураг 7,1а
f(x) нь алгуур хувьсдаг гөлгөр функц байг. Энэ нөхцөлд интегралыг тэгш өнцөгтийн аргаар бодох нь тохиромжтой. [a;b] завсрыг ижилхэн h урттай n завсарт хувааж хуваалтын цэгүүдийг хэмээн тэмдэглэе. Завсрын урт nxxxx,...,,,210nabh−= болох нь илэрхий. Харин хуваалтын цэгүүдэд функц bxxn=,...2xax=,,10 (),....,(),(1100nnxfyxfyxfy===
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 38
Зураг 7,1.б
утгатай. Хэрэв завсар хүрэлцээтэй хавчиг бол түүнд харгалзах муруйг бараг шулуун гэж үзэж болно. Тэгэхлээр муруйгаар хашигдсан талбайг ойролцоолон ( Зураг3,1.б) буюу эсвэл (Зураг 3,1.а) өндөр бүхий тэгш өнцөгтөөр сольж болох юм. Иймд интегралыг nyyy,...,,21110,...,,−nyyy),...,()(110−++−≈=∫nbanyyynabdxxfS буюу ),...,()(21nbanyyynabdxxfS++−≈=∫ (3.2)
ойролцоо илэрхийллээр сольж болно. Хуваалтын тоог олшруулвал ойролцоо утга интегралын жинхэнэ S утга руу тэмүүлнэ. ∞→n
Алдаа: ≤−nSS буюу Δ+≤≤Δ−SSSn (7.3)
Алгоритм:
Input a, b-завсрын төгсгөлийн цэгүүд, -хуваалтын тоо 0n
Output Ойролцоо интеграл S;
Step1. n=0,
Step2. while do Steps 3-6. 10−≤nn
Step3.
Step4. ;hxx+=
Step5.
Step6. n=n+1;
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 39
Step7. Output S;
Stop.
7,2 Трапецийн арга
Өмнөх аргад h завсар дахь муруйн нумыг шулуун гэж үзэх нь ихэнх тохиолдолд үнэнд үл нийцнэ. Иймд нумыг түүнд илүү дөхсөн хэрчмээр солих хэрэгтэй. Завсарт харгалзаж буй муруй шугаман трапецийг трапецаар сольвол нарийвчлал сайжирна. ( зураг 3,2)
зураг 7,2
Зурагт үзүүлсэн трапецүүдийн талбай: hyyS⋅+=2100 , hyyS⋅+=2211 , hyyS⋅+=2322,.....,hyySnnn⋅+=−−211 байна.
Иймд ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++++−=≈−bannnyyyyyyyynabSdxxf2,...,222)(1322110 буюу ⎜⎝⎛++−=nyyynab102
(7.4)
Алдаа: ≤−nSS буюу (7.5)
Алгоритм:
Input a, b-завсрын төгсгөлийн цэгүүд, -хуваалтын тоо 0n
Output Ойролцоо интеграл S;
Step1. n=0,
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 40
Step2. while do Steps 3-5. 10−≤nn
Step3. 2)()(hxfxfhSS++⋅+=
Step4. ;hxx+=
Step5. n=n+1;
Step6. Output S;
Stop.
7.3 Симпсоны арга
Өмнөх 2 аргад завсар дахь муруйг шулуун хэрчмээр, мөн нумын хөвчөөр солих замаар интегралыг ойролцоолон тооцоолсон. Харин муруй хэрчмийг муруй шугамаар ойролцоолбол тооцооны нарийвчлал илүү сайжрах нь мэдээж. Симпсоны аргад завсар дахь муруйд хоёр үзүүрийнх нь дунд нэг цэг авч гурван цэгийг дайрсан параболоор холбож дөхдөг юм.
nnxx,1− завсарт дөхөлтийн томъёо нь ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−≈−−−∫−)(24)(6)(1111nnnnxxnnxfxxfxfxxdxxfnn (7.6)
Зураг 7,3
Завсрын урт багасахад Симпсоны аргын нарийвчлал ер нь түргэн буурдаг. Нарийвчлалыг сайжруулахын тулд Симпсоны нийлбэрт томъёог хэрэглэнэ. Энэ томъёо гаргахын тулд [a;b]
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 41
завсрыг 2m буюу тэгш тооны, mab2− урттай завсарт хуваая. Ингэхэд цэгт утгатай, khaxk+=)(kkxfy=mk2,...,2,1,0=
Симпсоны (7.6) томъёог 2h урт бүхий завсар бүрт хэрэглэе. Эдгээр завсар бүрийн дунд буюу сондгой дугаартай зангилаа байгааг анхаарч Симпсоны томъёог ;[],...,;[],;[2224220mmxxxxxx−12−mxmk2,..,2,0531,...,,,xxxxxkk],;[222=+ завсарт хэрэглэж нийлбэр авъя. ∫Σ−=++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−≈bamkkkkkxfxxfxfabdxxf10222222)(24)(6)( ()=++++++++++++−=−−mmmyyyyyyyyyyyyab212226544322104,...,4446 ()=+++++++++++−=−−mmmyyyyyyyyyyab212531226420),...,(4),...,(26 ()=+++++++++++−=−−mmmyyyyyyyyyyab212531226420),...,(4),...,(26 ⎜⎝⎛+++−=ΣΣ==−−mkmkkkmyyyynab21122220426 (7.7)
Симпсоны (3.7) нийлбэрийг бодохдоо нарийвчлалыг тооцох дүрмийг Рунге боловсруулжээ. Энэ дүрэм ёсоор нэгдүгээрт: тэгш тоо n авч (3.7) томъёогоор интегралыг nabh−= алхамтай тооцоолно. Үүнийг гэж тэмдэглэе. Дараа нь nInabh22−= алхмыг сонгож мөн (7.7) томъёогоор интегралыг тооцоолж гэе. Рунгегийн завсрыг оролцуулан Симпсоны томъёогоор тооцоолсон утгыг nI2∫badxxf)(I гэвэл 1522nnIIII −+= (7.8)
Алдаа:
Симпсоны аргаар интегралыг тооцоолоход гарах алдааг
томъёогоор үнэлнэ.
Алгоритм:
Input a, b-завсрын төгсгөлийн цэгүүд, -хуваалтын тоо 0n
Output Ойролцоо интеграл S;
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 42
Step1. n=0, )(,,,00afyaxnabhS==−==
Step2. while do Steps 3-5. 10−≤nn
Step3. )2()(4)(hxfhxfxfSS+++++=
Step4. ;2hxx+=
Step5. n=n+2;
Step6. Output S;
Stop.
7.4 Монте-Карлогийн арга
бичээгүй
8. Фурье хувиргалт
8.1 Фурьегийн хувиргалт
Физик техник болон шинжлэх ухаан техналогийн олон салбарт тохиолддон нэг чухал асуудал бол ярвигтай функцийг хувиргаж үзэгдэлийн далд мөн чанарийг нь бодох харагдах боломжыг шинжлэх нь чухал байдаг, Тийм асуудалыг шийдэх математик хэрэглүүр бол фурье хувиргалт юм, Энэ хувиргалт нь өнөөх ярвигтай f(x) функцээс фурье төлөөлөлд
()∫⋅⋅−=Txrdxexff0)(ϖϖ (8.1)
хувиргалт эсвэл түүний дискрет төлөөлөлд ∫⋅⋅⋅−=TxnrndxexfTf0)(1ϖ n=1,..N (8.2)
томёогоор шилжинэ. Энд f(x) функц нь Т үетэй буюу
f(x)=f(x+tn), n=1,2,3..N (8.3)
шинжтэй ϖба ϖ⋅n бол гармоник буюу функцын хувьсалын тойрох давталин xreϖ− nxreϖ−T/2πϖ= Тийнхү фурье хувиргалт нь яривагтай функц болон туршилтийн тоон баримтыг тооцооны аргаар хувиргаж судлахад дот хэлбэр бүхий F( ) функцийн бүтэц буюу тасанги Fn тоон түгэлд шилжүүлэх болгож олгоно.
Фурье хувиргалтыг товчхон f(x)􀃎F(ϖ) буюу f(x)􀃎fn бичэж болох бөгөөд бас фурье төлөөллөөс нь эх функцд шилжих урвуу F(
ϖ) 􀃎f(x), Fn􀃎f(x) хувиргалтыг ч хийдэг. Энэ тухай доор ярилцана.
Жишээ болгож дараах бодлогыг mathcad багц программ хэрэглэн судлая. [0..2] завсарт. f(x)=A1sin( x)+A2sin( x) (8.4)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 43
функц өгөгдөжээ. Энэ нийлбэр хэлбэлзэл A1=0.8 A2=0.4 амплитудад ϖ1=245,6гц ϖ2=565.2гц тойрох давтамжтай хувьсана, f(x) функцийн N=8192 цэг дэхь салагнгад утгаас fn фурье төлөөлөийг ол. Зураг 8,1 ба 8,2
(зураг байна.)
8.2 Функцийг бүрэн багц дээр дэлгэх нь
f(x) функцийн томъёолсон хэлбэрээр ойролцоолон тодорхойлох хэрэгцээ олон тохиолдоно. Жишжжлбэл эл f(x) функцээс интегралыг томъёон хэлбэрээр авах шаардлага гардаг. Гэтэл уг интеграл нь шууд авагдахгүй байж болно. Бас хүснэгтээр тодорхойлсон функцийг томъёо хэлбэрт оруулах шаардлага гарна.
А векторыг 3 нэгж суурь вектороор задалж zzyyxxeAeAeAArrrr++= хэлбэртэй байгуулдаг. Суурь вектор zyxeeerrr,,нь ортигналь нормчилсон буюу нөхцөлийг хангана. Аi байгуулагчийг Аi = томъёогоор олдог. zyxkikk,,,=≠iieeki01,⎩⎨⎧==rrAeirr⋅
Математикт f(x) функцийг түүн луугаа ижил тодорхойлотийн муж бүхий бүрэн багц, суурь функц дээр дэлгэснээр томъёон хэлбжртэй босгох арга бас бий.
Бүрэн багц функцийг {ФК(x)} k=1,..n гэж тэмдэглэе. Бүрэн багц функц нь тодорхой мужид ортогналь бас норамчлалын нөхцөлд таардаг буюу
∫⎩⎨⎧≠===Tкiкiiбdxxфxфi010)()( (8.5)
Энд ФК(x) комплекс хосмог функц.
Хэрэв Ф(x) функц I мужид тодорхойлогдсон бол түүнийг ФК(x) бүрэн багц функц дээр дэлгэвэл
Σ∞==1)(iiicxfϕ (8.6)
Дэлгэлтийн Сi кофнциентийг олохийн тулд (8.6) илэрхийлэлийг баруун гар талаас нь Ф*К(x) функцээр интегралчилж (8.5) нөхцөлийг анхаарвал
∫Σ∫∞=⋅=⋅=lilkkikkdxxxcdxxfxc010**)(*)()()(ϕϕϕ (8.7)
Энэхүү (8.7) илэрхийлэлийг хэрхэн Ск кофнциентийг олсноор функцийг (8.6) төгсгөлгүй нийлбэрийг хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс нийлбэрийг төгсөглөг n гишүүнээр тасалбал
Σ=⋅=niiincxf1)(ϕ (8.8)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 44
ойролцоо илэрхийлэлийг гаргана. fn(k) функц жинхэнэ f(x) функц руугаа хэрхэн нийлэх буюу n􀃎үед | f(x)-fn(x)|<(7.7) ∞Δ
Байх нөхцөлийг хангахын тулд n ийн утга бүрийг шалгана. Энд Δ бол утагаас сонгосон нэн бага тоо.
8.3 Фурьегийн цуваа
өмнөх зүйлд өгүүлсэн аргад нийцүүлэн f(x)=f(x+n*t) n=1,2.. (8.8) үет функцийг мөн Т үетэй тригонометрийн ф(x) (математикт к нь 0-оос ∞ хооронд бодомны учир {Фк}нь төгсгөлгүй хэмжээст огторгуйн суурь функц болно) бүрэн багц функц дээр дэлэгвэл цуваа үүснэ. Тригонометрийн бүрэн багц {Ф2*и} нь Tx1)(0=φ )cos(2)(kxTTxФкϖ⋅= энд к=1,2,..n )sin(2kxTФкиϖ=+ k=1,2..n (8.8) илэрхийлэл бүрдэнэ. Ф0,Ф1,Ф2 ,, Ф2*n функц нь дараах ортогналь, нормчлалын нөхцөлд таарна.
⎩⎨⎧≠===∫mmбxфxфikиm10)()(20π (8.9)
f(x) функцийг {Ф2*и} багц функц дээр дэлгэе.
Σ∞==0)(kkkфcxf (8.10)
энэхүү 8.10 илэрхийлэлийг ерөнхий цуваа гэж нэрэлдэг. Цаашид үндсэн ϖ=2*π/T тойрох давтамжыг оруулвал (8.6) томъёог хэрэглэн (8.9) нөхцөлийг анхааран (8.10) аi кофнциентуудийг тодорхойлоё. ∫∫==TTdxxfTdxxfxTa0000)(2)()(2ϕ (8.11)
(8.12) ∫∫⋅==+πϖπϕ200)sin()(2)()(2dxkxxfdxxfxTbTkknk (8.13)
эдгээр кофнциентуудийг оруулбал фурьегийн (8.10) цувааг
(8.14)
Энэ цувааг төгсөглөг n гишүүнээр тайрч f(x) функцийн ойролцоо fn(x) утагыг босгоно.
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 45
(8.12) томъёоноос харвал f(x) функцийг ϖ=2*π/Т ϖ=n*ϖ0 гармоник давталт бүхий төгсгөлгүй тооны гармоник функцийн нийлбэрэр илэрхийлж байна. Түүнчлэн гармоник бүр нь нийлбэртээ аn bn тогтмол кофнциент буюу хувийн нэмэртэй оролцох юм.
8.4 Төгсөглөг цуваа
Төгсөглөг цувааг судлахын өмнө нэгэн зүйлд анхаарая. Нэгж хувьсалын хугцаа нь Т юм. Тухайлбал хэлбэлзэлийн хувьд боп Т хугцаанд бүтэн хэлэлзэж , эсвэл Т зайнд бүтэн долгио багтана гэсэн үг ϖ0=2*π/Т бол 2π хуцаанд эсвэл 2π зайнд багтах хэлбэлзэлийн тоо болон болгионы тоо болно.
f(x+nt)=f(x) жамаар үелэн хувирах функцийг Т үетэй гармоник функцээр задалхад төгсгөлгүй цуваа (8.14) гарсан. Практикт төгсгөлгүй үйлдэл хийх боломжгүй. Иймд төгсөглөг k=N гишүүнээр таслан ойролцоолон хийдэг. Дээрх (8.11)-(8.14) илэрхийлэлд тойрохϖ=2*π/Т давтамжийг хэргэлсэн юм. Математикт фурьегийн цувааг T=2π үетэй функц хэрэглэн байгуулдаг. Энэ тохиолдолд ϖ=1 болохыг анхаарч Σ=++≅Nkkknkxbkxaaxf10sin()cos((2)( (8.15)
Энд ∫∫⋅==πϖπϕ200)cos()(1)()(2dxkxxfdxxfxTaTkkk
∫∫⋅==+πϖπϕ200)sin()(2)()(2dxkxxfdxxfxTbTkknk (8.16)
Сүүлийн илэрхийлэлүүдээс аживал ак ба бк кофнциентуудийг тооцоолж
функцийг олох хэрэгтэй.
9. Туршилтын баримтыг боловсруулах арга
бичээгүй
10. Ортогнал олон гишүүнт хэрэглэн
хамгийн бага кавдратийн аргаар дөхөх нь
Байгаль нийгэмийн үзэгдэл хувьсалын судалгаанд төвийн цацалдал бүхий [(xi,yi ), i=1,2,..n] хэлхэлтийн баримтыг боловсруулахад шугман регресийн арга хангалтгүй. Энэ тохиолдолд шугман (p(x)=a0+ax) функцээр дөхөхийг n зэрэгийн олон гишүүнтээр хэлхэлтийн функцналь хамаарлыг босгодог. Дээрх дурьдсан хэлхэлт yi=f(xi),i=1,2,..n байсан бол f(x) функцийг босгоно. Функц ]тодорхойлогдсон байж. Энэ дөхөлтийг гүйцэтгэхийн тулд ,[)(bacxf∈
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 46
1. (10.1) олон гишүүнтийг байгуулна. Энд a0,..an үл мэдэх праметр байна. Σ==++++=nkkknnnxaxaxaxaaxp12210..)(
2. хамгийн бага кавдратын арагыг хэрэглэхийн тулд
∫∫Σ−=−=babakknndxxaxfdxxpxfaaaE2210])([)]()([),..,( (10.2)
функцналь байгуулна.
3. функцналь нь эсрэг хэмжигдэхүүн учираас naaaE10),..,(nkaEk,..2,1,0,0==∂∂ (10.3)
байх цэгт хамгийн бага утгандаа хүрнэ. Иймд Pn(x) олон гишүүнт f(x) функцэд хамгийн ойрхон дөт очно. Энд өгүүлснийг үйлдэж ковцентүүдийг олно. naaa10),..,(naaa10),..,(
(10.2) илэрхийлэлэийг
∫Σ∫Σ==+−=babanokkkbaknokkidxxadxxfxadxxfxE2)()(2)( (10.4)
Эндээс (10.3) томёо ёсоор уламжлала авбал ∫Σ∫+=+−=∂∂bakjnkkbajjxadxxfxaE02)(2 (10.5)
Сүүлийн илэрхийлэлийг 0 байх нөхцөлөөс
jdxxfxdxxabaibakjnkk2,1,0__)(0=≈∫∫Σ+= (10.6)
(10.6)-аас (n+1) тоотой aj үл мэдэгдэгчийг олно. Энэ систем шугман тэгштгэл ганц шийдтэй.
Жишээ №1:
f(x)=siиπx , x.[0,1] бол P2=a0+a1x+a2x2 олон гишүүнтээр хамгийн бага кавдратийн арга хэрэглэн дөх.
(10.6) тэгштгэлийг
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 47
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫⋅⋅=+⋅+⋅⋅⋅=+⋅+⋅⋅=+⋅+⋅1010242103110201010321021100101022101100sinsinsin1dxxxdxxadxxadxxadxxxdxxadxxadxxadxxdxxadxxadxaπππ
Интегралийг авахад
Энэ шугман тэгштгэлийг шийдэж 050465.01225.41225.4)()(12251.460720050465.012012223221320−⋅+⋅−=≈≈−=−=−≈−=xxxPxfaaaππππ
Зураг байгаа
11. Ортогналь багц функцийг хамгийн бага
завдратийн аргийг хослуулах нь.
Олон гишүүнтийг хэрэглэн хамгийн бага кавдратийн аргаар функцийг босгоход (10.6) алгебрийн систем тэгштгэл бодох хэрэгтэй. Шугман тэгштгэлийн томоохон матрицыг тооцоолоход алдаа гардаг. Бас алдааг багасгахын тулд Pn(x) олон гишүүнтийн дээд зэргийг тооцох шаардлагтай Ингэснээр тооцоо хүндрэлтэй болдог. Энэ бэрхшээлийг давахын тулд f(x) функцийг ортогналь багц функцээр дээр дэлгэж n гишүүнээр нь тасалбал =knk),..2,1},({φ
(10.7)
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 48
ойлоцоо Pn(x) олон гишүүнт үүснэ. Ск кофициент гарч байна. Харин k}φ багц функц нь a ба b завсарт W(x) жинхэнэ функцтай хамт ортогналь суурь функц үүсгэнэ. Иймд (10.8) ∫⎩⎨⎧=≠=kjxkjdxxxxwjjk,,0)()()(φφ
(10.7)илэрхийлэлийг дээрх (10.2) томъёонд тавьж w(x) жинхэнэ функцийг тодорхойлно.
dxxaxfxwaaaEkkban210])()([)(),..,(Σ∫−=φ (10.9)
(10.9) илэрхийллийг aj праметертэй барагцаалбал []Σ∫⋅−=∂∂=jkkbajdxxaxfxwaE)()()(20φφ (10.10)
болно.
Сүүлчийн тэгштгэлийг ∫Σ∫==>bankbajkkjdxxxxwadxxxfxw0)()()()()()(φφφ (10.10) =>nj,..1,0хэлбэрт бичие. Энэ бол үл мэдэгчидийг агуулсан n+1 тооны алгебрын систем тэгштгэл мөн.(10.10)тэгштгэлд баруун талд ортогналын нөхцөлийг тооцвол naaa10),..,( xxfxwxabajjj∫=()()(1φ (10.11)
үл мэдэгдэх аj кофициентийг (10.11) дахь интегралыг тооцоолон шууд олно. Тиймэрхүү ортогналь багц функц ашигласнаар (10.6) систем тэгштгэл бодох ажилыг хөнгөлсбн нь илэрхий байна.
7.5 Тригнометрийн хэлхэлт
Хүснэгтээр өгөгдсөн функцийн утагуудын хооронд хэлхэх үйлдлийг өмнө зүйлд үзсэн төгсгөлөг фурье цуваагаар гүйцэтгэж болно. [0,2 ] завсарт ижил зайд )12,..2,1(,12)1(2+=+−=NiNixiπ
зангилаанд xi өгөгдсөн байг. Дээрх цэгүүдийг хэлхвэл
(7.18)
буюу бүх х цэгтэй N зэргийн олон гишүүнт үүснэ. Тодорхойлолт ёсоор зангилаанд байна. )()(iiNxfxp=
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 49
(7.18) дахь ак ,вк кофициент нь (7.17) кофициентүүдээс ялгаатай нь эхний зангилаанд нь нэг дугаар өгч байгаа юм. Иймд: ΣΣΣ+=+=+=⋅+⋅+=⋅+⋅+=+=1211211210)122sin()(121)122cos()(121)(121NiikNiikNiiiNkxfNbiNkxfNaxfNaππ (7.19)
Алдааг үнлэх нь :
Фурьегийн төгсөглөг цуваа болон тригнометрийн хэлхэлтээр функцийг ойролцоо босгон байгуулахад цлах алдааг тооцооны алхам бүрт үнэлэх ёстой. Нийлбэрийн тоо N ихэсхэд алдаа [0,2π] завсарын цэг бүрт алдаа 0)()(sup→−xfxfN (7.20) ∞→N
]2,0[π∈x 0)()(sup→−xfxfN (7.21) ∞→N
]2,0[π∈x
Жамаар буурахыг шалгана.
Кофициентийг тооцооолох цизарам бичнэ. Хавсралтийн текстийг хорвүүл:
Жишээ 2
Дараах хүснэгтийн )21,..2,1(,21)1(2=−⋅=iixiπ цэгт функцийн утагаар хэлхэлтийн тригнометр олон гишүүнтийг байгуулж график зур.
xi
X1
X2
X3
X4
X5
X6
F(xi)
-5
-4.88554
-4.47372
-3.76908
-2.92406
-2.15783
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
-1.62831
-1.35048
-1.11638
-1.01903
-1.21193
-1.02565
-1.27974
X14
X15
X16
X17
X18
X19
X20
-1.84857
-2.64954
-3.48161
-4.14109
-4.53731
-4.72488
-4.83123
Xi=2π(i-1)/2N+1 i=(1,2,..2N) томъёонд тааруулан бод
1).1.00, 1.803, 3.085, 4.776, 6.43.4, 7.347, 7.029, 5.652, 3.897, 2.381, 1.347, 7.422, 0.419, 0256, 0.176, 0.142, 0.136, 0.155, 0.209, 0.324, 0.554;
2). 7.38, 6.76, 5.22, 3.47, 2.07, 1.16, 0.64, 0.36, 0.23, 0.16, 0.13, 0.13, 0.16, 0.23, 0.37, 0.64, 1.16, 2.08, 3.48, 5.22, 6.76;
Тооцон бодох математик хичээлийн лекцийн хураангуй
Боловсруулсан багш: Т.Уламбаяр Page 50
3). -1.24, --1.17, -1.08, -0.96, -0.84, -0,79, -0.8, -0.9, -1.1, -1.21, -1.02, -1.28,
-1.32, -1.34, -1.36, -1.37, -1.37, -1.36, -1.35, -1.33, -130;
4). -3.0, -3.58, -4.12, -4.56, -4.86, -4.99, -4.94, -4.73, -4.36, -3.86, -3.30, -2.7,
-2.13, -1.64, -1.26, -1.05, -1.00, -1.13, -1.43, -1.87, -2.43;
5). 1.0, 1.05, 90.6, 520.4, 1714.7, 2915.0, 2439.2, 1020.6, 230.7, 32.17, 3.29, 0.3, 0.03, 0.004, 0.001, 0.0003, 0.0006, 0.002, 0.01;
6). 2980.1, 2089.3, 742.4, 146.6, 18.6, 1.8, 016, 0.02, 0.003, 0.001, 0.001, 0.001,
0.002, 0.003, 0.018, 0.9, 1.22, 18.6, 146.6, 742.5, 2089.7;
7). 1.0, 1.34, 1.75, 2.18, 2.53, 2.71, 2.65, 2.37, 1.97, 1.54, 1.16, 0.86, 0.64, 0.5,
0.42, 0.37, 0.36, 0.39, 0.45, 0.56, 0.74;
8). 2.71, 2.6, 2.28, 1.86, 1.44, 1.07, 0.8, 0.46, 0.42, 0.4, 0.37, 0.37, 0.4, 0.48, 0.6,
0.8, 1.07, 1.44, 1.86, 2.28, 2.6;
9). -1.32, -1.28, 1.26, -1.24, -1.25, -1.25, -1.25, -1.26, -1.27, -1.27, -1.29, -1.33, -
1.34, -1.37, -1.37, -1.37, -1.37, -1.36, -1.35, -1.36;
10). -4.0, -4.2, -4.5, -4.7, -4.9, -5.0, -4.9, -4.8, -4.6, -4.4, -4.1, -3.8, -3.5, -3.1, -3.0,
-3.0, -3.1, -3.2, -3.4, -3.7;
11). -2.0, -2.8, -3.7, -4.3, -4.7, -4.9, -4.8, -4.6, -4.4, -4.1, -3.8, -3.5, -3.1, -3.0, -3.0,
-3.0, -3.1, -3.2, -3.4, -3.7;
1.2). 1.1, 3.2, 9.5, 22.8, 41.4, 53.9, 49.4, 31.9, 15.2, 5.7, 1.8, 0.55, 0.17, 0.06,
0.03, 0.02, 0.01, 0.02, 0.04, 0.1, 0.3;
Фурьегийн цувааны комплекс хэлбэр
Бичээгүй
Фурьегийн түргэн хувиргалт
Бичээгүй

Сайн байцгаана уу залуусаа

2012 оны 03-р сарын 15 Нийтэлсэн Амартайван
сайн байцгаана уу залуусаа. Миний бие ШУТИС-н мэдээллийн систем мэргэжлээр сурдаг 2-р курсын оюутан билээ. өнөөдрөөс эхлэн программ хангамж, мэдээллийн систем, website хөгжүүлэлтийн талаар өөрт байгаа бүх мэдээлэл, хичээл, ном сурах бичиг, хийсэн бүтээлээ та бүхэнтэйгээ хуваалцах болно. чаддаг хүн байхын төлөө хичээцгэе. зарим нэг сонирхолоо хуваалцах болно.ококок 

hi

2012 оны 03-р сарын 15 Нийтэлсэн Амартайван

 

миний блогт тавтай морил